(Уравнение Бернулли)
Воспользуемся уравнением неразрывности элементарной струйки. УБ записывается для двух сечений движущейся жидкости относительно горизонтальной плоскости сравнения.
УБ справедливо для установившегося плавно изменяющегося движения.
УБ записывается в удельной форме (m = 1).
Для элементарной струйки:
–УБ для элементарной струйки идеальной жидкости.
Чем отличается идеальная жидкость от реальной: в реальной жидкости затрачивается энергия на преодоление сил инерции. Таким образом:
–УБ для элементарной
струйки реальной жидкости.
Поток – это совокупность бесконечного множества элементарных струек, тогда у нас появляется площадь живого сечения – – скорость по живому мы осредняем и получаем – коэффициент Кориолиса:
–УБ
УБ выражает закон сохранения энергии.
Энергетический смысл УБ:
–удельная (m
= 1) кинетическая
энергия;
–удельная
потенциальная энергия давления;
z – удельная потенциальная энергия положения (расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести живого сечения).
–полная удельная
энергия в сечении 1-1.
–полная удельная
энергия в сечении 2-2.
– коэффициент Кориолиса (учитывает неравномерность распределения скорости по живому сечению). В дорожно-мостовом строительстве принимается равным 1,1.
р – избыточное давление в центре тяжести данного сечения.
–потери удельной
энергии при движении жидкости от 1
сечения ко 2-му.
Единицы измерения:
= [м]
(
)
= [м]
Геометрический смысл УБ:
–скоростной
напор;
–пьезометрическая
высота (расстояние по высоте от центра
тяжести сечения до уровня жидкости в
пьезометре);
z – удельная потенциальная энергия положения (расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центра тяжести живого сечения).
–пьезометрический
напор;
УБ = (пьезомерический + скоростной) напоры
–гидродинамический
напор в сечении 1-1.
–потери напора
при движении жидкости от 1 сечения ко
2-му.
Графическим изображением являются две лини: напорная и пьезометрическая.
Наклоны напорных линий на участках различны (i 1 i 2 ).Гидродинамический напор в 3-х сечениях –H 1 ;H 2 ;H 3 .
Линия, соединяющая гидродинамические напоры, называется напорной линией.
Уклон напорной линией называется гидравлическим уклоном .
Знак: "+" – потери накапливаются;
"-" – потери не могут быть отрицательными;
"0" – идеальная жидкость.
Н = скоростной напор + пьезометрическая высота.
,
тогда
,
поэтому
.
Пьезометрической линией называют линию, соединяющую пьезометрические напоры.
Наклон пьезометрической линии называется пьезометрический уклон :
Знак: "+" – сужающаяся труба;
"-" – расширяющаяся труба;
"0" – d = const , горизонтальный участок, идеальная жидкость.
Уравнение энергии (уравнение Бернулли)
при движении несжимаемого газа
В сосуде, заполненном жидкостью, согласно закону Паскаля внешнее давление Pвнеш, которое складывается из атмосферного давления (Р ат ) и давления поршня (Р порш ), во всех точках объема одно и тоже. Разница в давлениях на различных горизонтах h обязана гидростатическому давлению h Р гидр , создаваемому весом вышележащих слоев жидкости.
Если пренебречь изменением плотности жидкости, то гидростатическое
давление линейно изменяется по высоте сосуда: h
Р гидр = ρ gh . Сумму P внеш и Р гидр называют статическим давлением Р ст . Гидростатическое давление одинаково во всех точках горизонта.
Аналогичная картина имеет место и при движении газа, но только гидростатическое давление намного меньше внешнего давления и им обычно пренебрегают.
Чтобы тело оказалось на высоте "z " от уровня Земли, нужно совершить работу против сил земного притяжения А = ρ gz . Эта затраченная работа также представляет потенциальную энергию газа, которая в механике газов трактуется как энергия положения или геометрическое давление
Р геомz = ρgz. (1.2)
Энергия положения представляет не абсолютную энергию, которую не так просто рассчитать, а избыточную энергию относительно энергии положения Р геом0 на уровне земли. Сумма статического и геометрического давления представляет потенциальную энергию газа.
Если пренебречь изменением плотности воздуха с увеличением высоты z , то получим
Р атм z = Р атм0 - ρ в gz ,
где Р атм0 – атмосферное давление на уровне Земли; ρ в – плотность воздуха.
Давление, вызываемое движением газа, называется динамическим. Рассчитывается по формуле:
,
Вектор скорости
газа
в данной точке потока представляет
объемный расход газаv
через единицу поверхности F
в потоке, расположенной нормально по
отношению к этому вектору скорости.
При малой разности статических давлений в системе каналов и при отсутствии специального подогрева газ можно считать практически несжимаемым, так как изменением температуры газа за счет потерь на трение можно пренебречь. Движение газов в этом случае происходит практически при одной и той же плотности газа.
Движение газа в канале можно представить как сумму движений так называемых элементарных струек тока, для каждой из которых скорость, плотность и температура постоянны по сечению струйки. Стенки струйки тока по ее длине условно принимаются непроницаемыми, т.е. по длине струйки расход газа постоянен.
По длине элементарной струйки канала имеет место очевидное неравенство
P ст1 + P геом1 + Р дин1 > P ст2 + P геом2 + P дин2 ,
поскольку между сечениями 1–1 и 2–2 при движении газов возникают аэродинамические потери на трение ΔP пот.тр и при местных сопротивлениях ΔP пот.мс , о которых речь будет идти ниже.
При движении элементарной струйки "несжимаемого" газа (ρ 1 = ρ 2) имеем уравнение Бернулли в виде:
ΔP пот 1-2 – потери энергии, отнесенные к 1м 3 газа.
Уравнение баланса энергии в интегральной форме может быть получено из первого закона термодинамики и имеет вид
где первое слагаемое в скобках – кинетическая энергия движения жидкости, второе – потенциальная энергия положения, третье – энтальпия жидкости, Дж/кг;
Е п – полная энергия в контрольном объеме, Дж;
q – тепловой поток через контрольную поверхность, Вт;
l s – мощность на преодоление внешних сил, в основном трения, Вт;
u – скорость потока, м/с;
r – плотность среды, кг/м 3 ;
x – угол между нормалью и контрольной поверхностью;
g – ускорение силы тяжести, м/с 2 ;
z – геометрический напор, м;
h – удельная энтальпия, Дж/кг;
S – контрольная поверхность;
t – время, с.
Для химических процессов кинетическая и потенциальная энергии, а также мощность на преодоление внешних сил пренебрежимо малы по сравнению с энтальпией, поэтому можно записать
Это уравнение, по сути, является уравнением теплового баланса.
Для простого контрольного объема, ограниченного контрольными поверхностями, перпендикулярными вектору потока жидкости, интегрирование последнего уравнения дает
Первые два слагаемых в этом уравнении получены следующим образом. Если принять плотность постоянной, а cos(x )=±1, то
Так как W =rūS , то получаем
Если скорость незначительно меняется в обоих сечениях, а поток жидкости стационарен в гидродинамическом отношении, то уравнение баланса тепла можно записать следующим образом
Если система стационарна и в тепловом отношении, то:
Если в системе не происходит фазовых превращений и химических реакций, то можно от энтальпий перейти к теплоемкостям и тогда
Рассмотрим пример применения уравнений теплового баланса в нестационарных условиях.
Пример 9.1. Два резервуара объемом по 3 м 3 каждый заполнены водой при температуре 25 °С. Оба имеют мешалки, обеспечивающие практически полное перемешивание. В определенный момент времени в первый резервуар начинают подавать 9000 кг/ч воды при температуре 90 °С. Вода, выходящая из первого резервуара, поступает во второй. Определить температуру воды во втором резервуаре через 0,5 часа после начала подачи горячей воды. Резервуары считать теплоизолированными.
Решение: Составим схему тепловых потоков (рис. 9.1) и тепловой баланс для первого резервуара. При отсутствии теплообмена q =0 и при условиях
уравнение теплового баланса примет вид
откуда 9000(90-T 1 )d t=3·1000dT 1 , или
После интегрирования от 0 до t и от 25 °С до T 1 получим
T 1 =90-65exp(-3t).
Составим аналогичным образом тепловой баланс второй емкости
откуда 9000(T 1 -T 2)d t=3·1000dT 2 , или
Получено линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его можно проинтегрировать известным способом аналитически. Тогда имеем
Начальные условия: при t=0 Т 2 =25 °С. Произвольная постоянная С = -65.
Окончательно решение примет вид
Для вывода уравнения баланса энергии ветровых волн глубокого моря примем, что волна является двумерной, и выделим объем с сечением АBCD, расположенным перпендикулярно направлению распространения волн. Ось Х направим в сторону распространения волны (по ветру -), а ось Z вертикально вверх. Ось Y положим перпендикулярной к плоскости чертежа (рис.13), а расстояние по оси равным единице. Тогда выделенный объем численно будет равен площади сечения ABCD, что позволяет перейти от трехмерной задачи к двухмерной.
Положим, что нижняя граница выделенного объема расположена на глубине, на которой волнение отсутствует. Расстояние ВС, равное dx, будем считать достаточно малым для изменения средних значений элементов волн. Очевидно, что изменение средней волновой энергии в выбранном объеме за единицу времени будет , где dx = BC, а E характеризует среднюю волновую энергию, заключенную в столбе жидкости с единичной площадью основания и высотой, равной высоте выделенного столба. Это же изменение энергии можно подсчитать и другим способом. Через грань АВ слева в единицу времени поступает энергия в количестве Е · v с , где v с -- скорость переноса энергии, равная групповой скорости волн.
Через грань DC энергия уходит в количестве
E · v с +.
Через грань AD в единицу времени поступает энергия от ветра в количестве M p dx + Mdx, где М p - количество энергии, передаваемое ветром за счет нормального давления ветра, отнесенное к единице площади; М - то же за счет касательного напряжения.
Наконец, часть энергии и количестве E · dx рассеивается турбулентной вязкостью и переходит в тепло, E - количество рассеиваемой энергии, отнесенное к единице площади.
Таким образом, полное изменение средней энергии в выделенном объеме в единицу времени
E · v с - + M p dx + Mdx - E · dx= [ - + M p + M - E ]dx.
Приравнивая оба выражения для изменения энергии в единицу времени и сокращая на dx , получим уравнение баланса энергии ветровых волн
- + M p + M - E .
Для установившегося волнения 0 и, следовательно,
= M p + M - E (19)
Количество энергии Е в столбе жидкости с единичным основанием определяется выведенной ранее формулой
где а - амплитуда волны.
Скорость переноса энергии, равная групповой скорости, определяется для коротких волн вышеприведенной формулой, где с - фазовая скорость распространения волн. Уравнение (19) связывает между собой неизвестные элементы волны - высоту h и длину в любой момент времени t со скоростью ветра, продолжительностью его действия и расстоянием, проходимым волной вдоль оси Х и называемым длиной разгона.
Действительно, энергия волны Е, как показывают соотношения и Е з = , связана с высотой волны. Член характеризует изменение энергии во времени, а, следовательно, и изменение высоты волны. Член уравнения определяет перенос энергии в направлении распространения волны и связан с расстоянием, проходимым волной вдоль оси Х (длиной разгона), с групповой скоростью волны с гр, которая определяет скорость переноса волновой энергии, и с высотой волны, с которой связана энергия волны Е. Члены уравнения М р и М определяются не только скоростью действующего ветра, но и зависят от элементов волн. Количество теряемой энергии E, также связано с элементами волны.
Так как уравнение (19) включает две неизвестные величины h и, его решение не может быть осуществлено без дополнительного соотношения, связывающего между собой эти неизвестные. Классические теории дают связь только между длиной волны, ее периодом и скоростью распространения с, а потому не могут быть использованы для установления соотношения между h и. Такие соотношения строятся исходя из тех или иных гипотез с учетом экспериментальных данных.
Решение уравнения баланса энергии оказывается более простым для установившегося волнения, т. е. когда 0.
Однако даже и в этом случае возникают существенные трудности. К ним относятся вопросы физического объяснения механизма передачи энергии от ветра к волне (а, следовательно, и обоснование методов расчета передаваемой мощности), определение потерь на турбулентное трение и, наконец, нахождение второго соотношения для установления связей между высотой и длиной волны.
Одни исследователи отводят основную роль в передаче энергии от ветра к волне касательному напряжению ветра.
Другие исследователи считают, что передача энергии от ветра и волне осуществляется вследствие разности давлений на наветренный и подветренный склоны волны. Этой точки зрения придерживается академик В. В. Шулейкин.
Существенным является вопрос об определении мощности, теряемой вследствие турбулентности, возникающей при волнении.
Не менее сложный при решении уравнения баланса энергии ветровых волн это вопрос об установлении связей между длиной и высотой волны, необходимых для получения второго уравнения.
Большинство авторов решает этот вопрос на основе обработки результатов наблюдений над ветровым волнением. Естественно, при этом получаются различные выводы, так как реальные волны отличаются большим разнообразием и не являются двухмерными. Первое теоретические решение было получено В.В.Шулейкиным, который используя теорему о моменте количества движения к частицам воды, перемещающимся при волнении по орбитам в форме окружности, разработал теорию нарастания длин волн под действием ветра. Это позволило ему найти второе уравнение для связей между длиной и высотой волны.
При установившемся волнении должно существовать равенство между мощностью, передаваемой от ветра к волне и теряемой на турбулентное трение. Такое равенство, по выводам В.В.Шулейкина, наступает тогда, когда скорость волны с достигает 0,82 скорости ветра, т. е. когда
Отношение скорости волны к скорости ветра (=) называют безразмерной скоростью или возрастом волны, поскольку это отношение характеризует стадию развития волн. От начала развития волны до = 1 они находятся под действием ветра. После достижения условия >1 ветер практически перестает действовать на них.
При развитии волн нарастание длины волны в отличие от нарастания их высоты происходит неравномерно: вначале рост идет довольно быстро, а затем замедляется. Наибольшей крутизны волны достигают при 0.27. Однако на протяжении всего этапа развития волн их длина растет быстрее высоты, что приводит к уменьшению крутизны волны.
Теоретические выводы и наблюдения показывают, что устойчивые волны могут наблюдаться только до вполне определенных значений крутизны волны. Затем волна становится неустойчивой, и ее гребень разрушается. Теоретически предельное отношение высоты волны к ее длине равно 1/7. Наблюдения дают близкие значения (порядка 1/10). Рассмотренные вопросы развития волн позволяют описать лишь основные черты этого явления. Действительная картина значительно сложнее. Прежде всего, необходимо напомнить, что воздушный поток, воздействующий на поверхность моря, неоднороден по своей структуре. Скорость и направление ветра в различных точках поверхности моря неодинаковы и не остаются неизменными по времени. Поэтому под воздействием ветра создается сложная система волн различной высоты и длины. В силу этого они не могут распространяться как параллельные гряды, т. е. иметь характер двумерных волн, и разбиваются на холмы и впадины, располагающиеся примерно в шахматном порядке, т. е. принимают характер трехмерных волн.
Разнообразие скоростей распространения волн приводит к тому, что одни волны нагоняют другие, сливаются с ними, т.е. происходит интерференция. В результате создаются группы волн .
Наличие поступательного движения частиц (волнового течения) приводит к увеличению крутизны волны и к срезанию ее вершины (образованию барашков). Вследствие этого волны не достигают тех предельных значений, которые имели бы место при движении частиц по замкнутым орбитам.
Срезание вершин обусловливает удары волн о корабль. Этот эффект еще усиливается тем, что на поверхности основных гравитационных волн возникают волны высших порядков, увеличивающие срыв гребней.
Вызванные ветром волны, распространяющиеся в области волнообразования, после ослабления ветра и (или) изменения его направления, или вызванные ветром волны, пришедшие из области волнообразования в другую область, где дует ветер с другой скоростью и (или) другим направлением, называются зыбью.
Вызванные ранее ветром волны, распространяющиеся при отсутствии ветра, называют мертвой зыбью . При взаимодействии ветрового волнения и зыби образуется смешанное волнение.
Пологие волны зыби большой длины выходят за пределы штормовой зоны и распространяются впереди нее как волны - предвестники приближения шторма.
Вернемся к выведенным еще в гл. II уравнениям динамики сплошной среды (29), которые именовались "уравнениями в напряжениях", и заменим в них напряжения по формулам (12) настоящей главы. Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа:
Стоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и конвективные части. Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конвективных членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости является функцией температуры а распределение температур, в свою очередь, как это уже известно из динамики идеального газа, зависит от поля давлений и скоростей.
Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. II подставить выражение тензора напряжений в форме (11). Тогда, вспоминая (§ 17 гл. II), что скалярная функция)
будем иметь:
Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравнении системы за знак производной, получим:
или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка в правой части обращается в нуль:
Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения несжимаемой жидкости:
или в векторном виде:
где под символом понимается вектор с проекциями
Используя легко проверяемое непосредственным дифференцированием векторное соотношение
которое в случае несжимаемой жидкости переписывается в виде:
будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16):
К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II
не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчет вязкость или нет.
Уравнение баланса энергии (45) той же главы (§ 16) преобразуем в случае наличия вязкости, подставляя в него вместо выражение (9) настоящей главы.
Предварительно находим:
Произведение можно раскрыть, составив проекцию
и заключив по последнему выражению, что
с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь:
Произведем еще к уравнении (45) гл. II замену:
а по (48) гл. II:
Тогда уравнение баланса энергии примет вид:
Но, согласно уравнению (16):
следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии:
В дальнейшем удовольствуемся рассмотрением преимущественно стациоиарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, при стационарном движении
или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу векторного анализа
следовательно
Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных сил и стационарности примет удобный для дальнейших применений вид:
В этом уравнении использовано принятое в § 75 обозначение (5) числа а; число а для совершенных газов будем считать постоянным.
Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона
которое можно переписать в виде
уравнение (3) в форме:
то в результате будем иметь общую систему семи уравнений с семью неизвестными:
Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой - число уравнений совпадает с числом неизвестных.
Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место и в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие "прилипания" жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, рапенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе или, при движении тела в жидкости, совпадение с соответствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине XIX в.) оспаривалось некоторыми исследователями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми и косвенными опытами. Оговоримся, однако, что в разреженных
газах условие "прилипания" газа к твердой стенке, не имеет места; в этих условиях наблюдается "скольжение" газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной но нормали к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей скорости. Не приходится и говорить о том, что условие "прилипания" совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще, в тех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится велика по сравнению с размерами тела. В этом случае основное значение но сравнению с соударением молекул друг о друга приобретают удары молекул о поверхность тела, и предположение о "прилипании" газа к твердой поверхности теряет всякий смысл. Впрочем, такого рода "движения" газа выходят уже за рамки механики в узком смысле слова и составляют скорее предмет изучения кинетической теории газов. Заметим, что вопросы обтекания тел разреженными газами приобретают в последнее время практическое значение в связи с полетами реактивных снарядов на больших высотах, где разрежение воздуха очень велико.
Граничные условия для температуры могут быть весьма разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения температуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, но которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры набегающей жидкости "на бесконечности". В других случаях задается распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла, проходящего через единицу площади поверхности. Согласно закону Фурье (4), последнее эквивалентно заданию производной от температуры по направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала. В такого рода граничных условиях заложено предположение об отсутствии "скачка температур" между обтекаемой стенкой и "прилипающими" частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными, исследованиями в жидкостях и неразреженных газах (точнее, при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов). В случае же разреженных и, особенно, сильно разреженных газов изложенные граничные условия теряют свой смысл. В разреженных газах параллельно со "скольжением" газа образуется "скачок" температур, который, гак же как и скорость скольжения, можно принять пропорциональным температурному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается в некотором уточнении, что и делается в кинетической теории газов.
В число граничных условий входит еще задание давления в какой-нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении канала или др.
Начальные условии фигурируют лишь в нестационарных задачах и представляют собою задание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый "начальный" момент времени.
Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей решения уравнений движения неидеальной жидкости, остановимся на важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений реальной жидкости.
Для определения энергии методами CM" в состоянии равновесия использовались соотношения (4.2.13?16) для полной энергии системы и полной механической энергии системы как целого.
Уравнение баланса OS имеет вид
где:- полная энергия системы для локального или детального состояния равновесия;
Добавочный член, учитывающий характер изменения состояния во времени (функция внутренней энергии и флуктуаций полезной внешней работы).
где:- полная механическая энергия системы как целого
Механическая энергия объекта (сумма кинетической и потенциальной энергий объекта (тела));
Упорядоченная (полезная) работа против внешних сил (теплообмена, температуры, трения, систем электроэнергии);
Неупорядоченная (непревратимая) работа (энергия), вызванная теплообменом, объемной и линейной деформацией, трением, электрическим потенциалом;
Элементарная полезная (упорядоченная) работа;
Результирующая сила по каждому виду воздействия;
Перемещение, вызванное действием;
Обобщенный потенциал (температура, давление, деформация, электрический потенциал);
Экстенсивная координата состояния.
Полная энергия OS системы в неравновесном состоянии определяется соотношением
где: функции в составе соотношения являются функциями времени;
Упорядоченная энергия системы как целого;
Неупорядоченная энергия системы как целого;
Полная механическая энергия системы как целого;
Кинетическая энергия информации (часть энергии информации, влияющая на);
Внутренняя энергия системы;
Часть энергии информации, связанная с внутренним взаимодействием частей системы.
где: - полная энергия тела (объекта) системы;
Кинетическая энергия системы в целом;
Потенциальная энергия системы в целом;
Внутренняя энергия системы
Энергия неравновесного состояния;
Давление в объеме системы;
Химический потенциал;
Количество частиц;
Изменение кинетической энергии системы
Кинетическая энергия, часть энергии механической системы, зависящая от скоростей движения точек
где: - масса частицы системы;
Скорость движения частицы
Масса системы;
Скорость центра масс;
Кинетическая энергия движения системы вокруг центра масс:
Момент инерции тела;
Угловая скорость тела.
Из сравнения уравнения состояния газа и основного уравнения кинетической теории следует
Поэтому среднее значение энергии имеет вид:
Из соотношения следует
Изменение потенциальной энергии системы, взятое с обратным знаком, соответствует работе внутренних консервативных сил: .
Изменение полной механической энергии:
В общем случае кинетическая энергия не является функцией массы и скорости и зависит от внутренних процессов, происходящих в системе (например, инфильтрации, имплантации частиц среды).
Для случая конечных перемещений под действием нагрузки, можно рассмотреть изменение кинетической энергии в виде суммы
где: - изменение кинетической энергии, вызванные полезной работой;
Одностороннее самопроизвольное изменение кинетической энергии, вызванное внутренними процессами. Эта часть изменения энергии может быть положительной или отрицательной.
Внутренняя энергия - энергия системы, зависящая только от ее внутреннего состояния и не включающая в себя виды энергии системы как целого. Внутренняя энергия включает в себя формы энергии всех форм движения системы и все виды энергии каждой формы энергии, взятой в отдельности
где: и - внутренняя энергия, энтропия неравновесного состояния (для состояний локального или детального равновесия используется индекс «o»);
Свободная энергия.
Изменение внутренней энергии системы
где: - внутренняя энергия, объем, энтропия;
Температура, давление;
Химический потенциал, число молей вещества в системе.
Пусть система совершает работу механического характера, и элементарную работу не механического характера, уравнение (4.3.13) примет вид
Энергия Гиббса как изобарно-изотермический потенциал определится в виде
Соотношение Гиббса-Дюгема записывается в виде
Из соотношений (4.3.12)-(4.3.16) следует
Поэтому если распространить соотношения классической (равновесной) механики на ОS, то их свободная энергия может оказаться равной нулю. От этого несоответствия можно избавиться, если свободную энергию ОS определять не по «обратному балансу» (за вычетом равновесной части энергии), а путем представления свободной энергии через параметры их неравновесности.
В составе исследуемой системы имеется подсистема, энергия которой зависит от энергии химически реагирующих сред. Для длительных процессов эта часть энергии приводит к уменьшению величины работы, способную воспринимать системой, что равносильно уменьшению энергии системы. Рассмотрим свободную энергию химических реагирующих сред.
Пусть в закрытой неравновесной системе протекают гомогенные химические реакции. Текущие концентрации веществ в реагирующей смеси с начальными концентрациями связывает соотношение
где: - стехиометрические коэффициенты веществ в реакции;
Степень полноты в реакции.
Вместо параметра можно использовать экстенсивную координату химического неравновесного состояния
где: - концентрация вещества до завершения реакции.
Изменения в OS происходят вследствие:
Диффузии веществ, которые не участвуют в химической реакции (массообмен в состоянии равновесия);
Химических превращений веществ, участвующих в реакции;
Имплантации твердых и жидких фаз среды на поверхность объекта.
Массообмен в равной мере изменяет концентрации и оставляет;
Химические реакции изменяют и оставляют неизменными.
Учитывая, что член в соотношении (4.3.15) можно представить в виде
где: - удельное химическое сродство химической реакции.
В химически реагирующих средах внутреннюю энергию можно разложить на составляющие:
Внутренняя энергия равновесного состояния
Внутреннюю энергию неравновесного состояния
Величина (свободная энергия химически реагирующих систем или химическая энергия) характеризует часть внутренней энергии, способную к химическому превращению и к совершению полезной внешней работы. В отличие от (энергии Гиббса) выражается только через параметры, так что ее величина не изменяется в процессах диффузии веществ, которые не участвуют в химической реакции.
Объединенное уравнение 1-го и 2-го начал термодинамики ОС принимает вид
где: характеризует элементарную работу, которую может совершать система за счет убыли внутренней химической энергии.
Величина (энергии химических реакций) не зависит от протекающих в системе процессов теплообмена и массообмена в равновесном состоянии и не зависит от объемной деформации.
Изменение (убыль) химической энергии определяет величину возможной работы в любых условиях процесса (не только при или).
Выделение с помощью параметров равновесной и неравновесной составляющих внутренней энергии определяет разницу между процессами массообмена в состоянии равновесия и в неравновесном состоянии.
Если в процессе массообмена изменяются только равновесные концентрации реагирующих веществ, т.е. в систему поставляются продукты реакции, то другим процессом является увеличение координаты, когда в систему поставляются реагенты, удаляющие системы от состояния химического равновесия. Равновесный массообмен (аналогично теплообмену) изменяет равновесную (непревратимую или неработоспособную) часть внутренней энергии системы.
Неравновесный массообмен содержит в себе увеличивающуюся химическую энергию, которая системой воспринимается как часть работы, совершаемой над системой.
Виды энергии системы, определяемые внутренним состоянием:
Внутренняя энергия неравновесного состояния
Связанная энергия: - энтропия; температура;
Свободная энергия: .
Из теоретической механики действие определяется соотношением:
где: - действие;
Живая сила;
Скорость движения частицы;
Скорость движения частицы под действием внешних сил;
Скорость действия частицы на среду;
Элемент пути за время
Принцип наименьшего действия:
где: - обобщенные координаты;
Обобщенные (сопряженные) импульсы;
Функция Гамильтона.
В механике сплошной среды считается, что частица не имеет воздействия на среду.
Первый закон Ньютона - существуют инерционные системы отсчета (ИСО), относительно которых материальная точка при отсутствии внешних сил сохраняет величину и направление скорости бесконечно долго;
Второй закон Ньютона - в ИСО ускорение прямо пропорционально равнодействующей сил и обратно пропорционально массе: ;
Третий закон Ньютона - материальные точки действуют друг на друга силами.
Силы должны:
Иметь одинаковую природу;
Иметь направление по прямой, соединяющей точки (частицы);
Быть равными по модулю и противоположными по направлению:
Если физическая система изолирована, то ее состояние, определяемое макроскопическими переменными, необратимо эволюционирует и инвариантному во времени состоянию, и в этом состоянии в системе не наблюдается никаких физических или химических изменений. Температура во всех частях системы, находящейся в таком состоянии, одинаковая. Считается, что такое состояние можно считать равновесным.
Равновесие механической системы, - все силы полностью уравновешены (гасят друг друга).
Равновесным называется состояние термодинамической систем (ТДС), характеризующееся при постоянных внешних условиях неизменяемостью параметров во времени и отсутствием в системе потоков (общее начало термодинамики).
Стационарным состоянием системы считается состояние, когда характеристики системы не меняются со временем. Для открытых систем стационарным считается состояние, когда энергия системы не меняется со временем. Степень неупорядоченности системы характеризуется энтропией.
Эволюция произвольного состояния к равновесному состоянию происходит вследствие необратимых процессов. В равновесном состоянии работа внешних сил определяется выражением
При рассмотрении диссипативной структуры работа внешних сил определяется соотношением
где: - диссипативный порядок траектории.
Таким образом, равновесные системы характеризуются:
Равномерным распределением температуры;
Функциями состояния, - энергия и энтропия.
Требование постоянства в распределении температуры не входит в число требований, при выполнении которых энтропия или энергия системы становятся определенной.
В неравновесных системах температура распределяется неравномерно, но вполне определенным образом, а распределение энтропии, энергии или вещества связано с плотностью распределения термодинамических потенциалов
где: - плотность энтропии на единицу объема;
Плотность внутренней энергии на единицу объема;
Число молей на единицу объема.
Неравновесным называется такое состояние, при переходе через которое из одного состояния равновесия в другое смежное, бесконечно близкое состояние равновесия, совершаемая работа меньше величины максимальной работы, совершаемой при переходе между теми же равновесными состояниями через промежуточное равновесное состояние. В окрестности любого равновесного состояния имеются смежные, бесконечно близкие неравновесные состояния, которые не могут быть достигнуты путем квазистатического равновесного перехода.
Убыль термодинамического потенциала
где: - максимальная работа в равновесном состоянии;
Фактическая работа неравновесной системы.
Считается, что зависит от начального и конечного состояний, и не зависит от пути (предположение относится к закрытым системам).
Принцип локального равновесия
где: - термодинамический потенциал неравновесного состояния;
Потеря работы системой.
В зависимости от вида системы можно записать:
Изолированная система (IS)
Закрытая система (CS)
Открытая система (OS)